रैशनल संख्या क्या होती है?
👉 वह संख्या जो p/q के रूप में हो, उसे रैशनल संख्या (परिमेय संख्या) कहते हैं।
जहाँ:
- p = अंश (Numerator)
- q = हर (Denominator)
- q ≠ 0 (हर कभी 0 नहीं होगा)
What is a Rational Number?
A Rational Number is a number that can be expressed in the form of p/q, where:
- p = Numerator (Top Number)
- q = Denominator (Bottom Number)
- q ≠ 0 (Denominator can never be zero)
रैशनल संख्याओं के प्रकार
| प्रकार | उदाहरण |
|---|---|
| धनात्मक रैशनल संख्या | 3/4, 7/2, 9/5 |
| ऋणात्मक रैशनल संख्या | -3/4, -5/6 |
| पूर्णांक रैशनल संख्या | -3, 0, 5 (इन्हें p/1 के रूप में लिखा जा सकता है) |
Important Formulas of Rational Numbers
| Operation | Formula | Example |
|---|---|---|
| Addition | a/b + c/d = (ad + bc) / bd | 3/4 + 2/5 = 23/20 |
| Subtraction | a/b – c/d = (ad – bc) / bd | 3/4 – 2/5 = 7/20 |
| Multiplication | a/b × c/d = (a × c) / (b × d) | 3/4 × 2/5 = 3/10 |
| Division | (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) | 3/4 ÷ 2/5 = 15/8 |
| Reciprocal | Reverse Numerator and Denominator | Reciprocal of 3/4 = 4/3 |
महत्वपूर्ण सूत्र (Formula)
| संक्रिया | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| जोड़ | a/b + c/d = (ad + bc)/bd | 3/4 + 2/5 = (3×5 + 2×4) / (4×5) = 23/20 |
| घटाव | a/b – c/d = (ad – bc)/bd | 3/4 – 2/5 = 7/20 |
| गुणा | a/b × c/d = (a×c) / (b×d) | 3/4 × 2/5 = 3/10 |
| भाग | (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) | 3/4 ÷ 2/5 = 15/8 |
| व्युत्क्रमानुपात | p/q का उलटा = q/p | 3/4 का व्युत्क्रम = 4/3 |
रैशनल संख्याओं की तुलना (Comparison) कैसे करें?
- दोनों संख्याओं के हर (Denominator) बराबर करें।
- जिसके अंश (Numerator) का मान बड़ा होगा, वही संख्या बड़ी होगी।
उदाहरण:
3/4 और 5/6 की तुलना करें।
👉 LCM (4, 6) = 12
👉 3/4 = 9/12
👉 5/6 = 10/12
✅ तो, 5/6 > 3/4
दो रैशनल संख्याओं के बीच संख्या निकालने का फार्मूला
👉 (a/b + c/d) / 2
उदाहरण:
3/4 और 4/5 के बीच संख्या निकालें।
(3/4 + 4/5) / 2
= (15/20 + 16/20) / 2
= 31/20 ÷ 2
= 31/40
🔑 गुणधर्म (Properties)
| गुणधर्म | विवरण | उदाहरण |
|---|---|---|
| बंद गुणधर्म | जोड़, घटाव, गुणा में हमेशा रैशनल संख्या ही आती है | 1/2 + 3/4 = 5/4 |
| प्रतिस्थापन | a/b + c/d = c/d + a/b | 2/3 + 4/5 = 4/5 + 2/3 |
| संयोजन | (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f) | (1/2 + 3/4) + 5/6 = 1/2 + (3/4 + 5/6) |
| वितरण गुणधर्म | a/b × (c/d + e/f) = (a/b × c/d) + (a/b × e/f) | 2/3 × (4/5 + 1/2) |
Properties of Rational Numbers
| Property | Description | Example |
|---|---|---|
| Closure Property | Addition, Subtraction, Multiplication always gives Rational Numbers | 1/2 + 3/4 = 5/4 |
| Commutative Property | a/b + c/d = c/d + a/b | 2/3 + 4/5 = 4/5 + 2/3 |
| Associative Property | (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f) | (1/2 + 3/4) + 5/6 = 1/2 + (3/4 + 5/6) |
| Distributive Property | a/b × (c/d + e/f) = (a/b × c/d) + (a/b × e/f) | 2/3 × (4/5 + 1/2) |
🔢 Decimal से Rational Number में बदलना
| प्रकार | उदाहरण | रूपांतरण |
|---|---|---|
| समाप्त होने वाला (Terminating) | 0.75 | 75/100 = 3/4 |
| अनंत पुनरावर्ती (Non-Terminating Repeating) | 0.333… | 1/3 |
✅ कुछ महत्वपूर्ण बातें
- हर पूर्णांक एक रैशनल संख्या है।
- 0 भी एक रैशनल संख्या है।
- दो रैशनल संख्याओं के बीच अनगिनत रैशनल संख्याएं होती हैं।
- किसी भी रैशनल संख्या का व्युत्क्रमानुपात (Reciprocal) भी रैशनल संख्या होती है (सिवाय 0 के)।
🎯 प्रैक्टिस प्रश्न
- 2/3 और 3/4 के बीच 3 रैशनल संख्याएं निकालें।
- सरल करें: (5/6 + 3/4) – (7/8 × 2/3)
- तुलना करें: -7/9 और -5/6
- 0.125 को रैशनल संख्या में बदलें।
🔥 याद रखने की Trick
👉 Rational Number = Ratio Number
👉 p/q = भागफल (Division)
👉 हर (Denominator) कभी भी 0 नहीं हो सकता